我所知没有明显的界定，传统上主要指流形的拓扑学（庞加莱猜想等）。此外还有哪些主要问题？与低维拓扑、微分拓扑的关系是怎样的？

还没读博的时候写的答案，最近又有人陆陆续续地点赞了。五年过去，我的研究方向也更多地转向了辛几何，离低维拓扑越来越远了。不过还是想补充一些这几年里接触到的有趣的结果，毕竟之前的答案里写的都是30年前的东西了。

才疏学浅，请多指正。

1、近些年里个人感觉最大的一个结果是Manolescu's disproof of triangulation conjecture（当然了，所谓的“近些年“指的是近些年我才知道，人家13年就知道了）。

所谓的Triangulation conjecture（三角化猜想）是问对于 维的拓扑流形，是否能被三角化。这本身是一个高维拓扑的问题，但是经由Galewski-Stern和Matumoto的工作，等价于一个关于三维的homology cobordism group（同调配边群）的问题。而这个问题被Manolescu用Pin(2)-equivariant Seiberg-Witten Floer homology解决，从而证伪了Triangulation conjecture。

Pin(2)-action在四维的Seiberg-Witten理论中很早就被用到，比如Morgan-Szabo的文章

但应该是从Manolescu开始才在Floer theory里被重视起来，Pin(2)-Seiberg-Witten Floer和Involutive Heegaard Floer让人很快地可以改进很多之前的结论，这也成为了低维拓扑里很热门的领域。（个人认为除了Manolescu外，其他人在这方面的工作都没什么开创性，就是有了稍微更锋利一些的斧子所以能继续砍柴罢了，也没见能拿这个斧子雕人像的）

2、另外一个我觉得很厉害的工作是Hopkins-Lin-Shi-Xu对于11/8-conjecture的推进，这个确实是前年的工作，算是很新的。

11/8-conjecture是说对于任何closed smooth spin 4-manifold，一定有 。

之前Furuta证明了 ，而HLSX用Furuta的方法，把结果推进到了 。但看结果好像很不起眼，但其实是用了很强的equivariant stable homotopy theory的技术，把Furuta的方法推向了极致。也就是说，后人想要继续解决这个猜想时，就需要脱离Furuta的方法，另辟蹊径了。从这个意义上说，这种计算能力上的突破是极其重要的。

3、辛几何的影响。一个光滑流形的余切从是辛流形，而且两个光滑同胚的流形的余切从也是辛同胚的。那一个自然的问题就是反过来对不对，我们能不能通过研究余切从的辛结构来得到关于base光滑结构的信息。这就是为什么一个topologist也会关注Nearby Lagrangian conjecture的进展。近些年的发展很多，我就提Kragh和Abouzaid对于Floer homotopy type的工作。

这个想法不是什么新想法，大体上就是去构造一个拓扑空间，比如CW complex，使得它的homology就是floer homology。这个想法应该最早来自Cohen-Jones-Segal

也不仅仅是在辛几何里面，对于Khovanov homology和Seiberg-Witten Floer也有类似的构造。就好像chain complex比homology包含更多的信息，floer homotopy type也应当包含比floer homology更多的信息，或者说可以用更多丰富的代数拓扑的工具。最近我也在学习这方面的内容，学会了可能再多写一点。

总结一下，大概我想把这些东西放在这个答案里是想说，几何拓扑的研究是跟其他领域紧密联系的，特别是越来越多地用到辛几何和代数拓扑。这年头要做数学，要学的东西太多了。

---------更新的分界线----------

谢邀。貌似是没有严格的界定。我没有严肃地考究过geometric topology的具体范围，只说一点我自己的理解。

传统的代数拓扑考虑的对象往往是CW-complex甚至是一般的topological space，给出的往往是homotopy invariant。
而几何拓扑的目标主要是研究流形的homeomorphism type和diffeomorphism type，特别是如何区分homotopy equivalent但并不是homeomorphic或是diffeomorphic的东西。
由于流形上可以有topology可以有differential structure可以有Riemannian metric等等丰富的结构，其用到的工具可以有很多，包括代数拓扑、微分拓扑、微分几何等等。

在高维(>=5)的几何拓扑主要工具是characteristic classes, surgery, Morse theory等，主要成就有

• Milnor's exotic 7-sphere (用characteristic classes证明了存在一类7维流形homeomorphic but not diffeomorphic to S^7)
  
• Smale's proof of higher dimensional Poincare conjecture (用了h-cobordism theorem)。

Smale的工作让大家把眼光集中在了低维流形的拓扑，特别是3和4。一般来讲，低维拓扑包括但不限于对于surface, 3-manifold, 4-manifold, knot的研究，可以说低维拓扑是几何拓扑的一部分。过去几十年里低维拓扑最重要的几个工作大概是

• Perleman's proof of Thurston's Geometrization Conjecture (Poincare conjecture只是它的一个特例)
  
• Freedman's proof of 4-dim Poincare conjecture (没读过这个paper，但据说是用了个trick把h-cobordism推广到了四维，代价是不能证diffeomorphic了)
  
• Donaldson's invariant of smooth 4-manifolds (Donaldson把gauge theory引入了低维拓扑，通过研究moduli space of self-dual connections，定义了四维流形的diffeomorphism invariant。这些工作基本上都可以被后来的Seiberg-Witten theory用更简单的方法得到，但Donaldson的工作无疑是有开创性的。)

另，最近这些年很多symplectic topology和contact topology的结果也应用在了低维拓扑里。

低维拓扑剩下的问题里最大的大概就是4-dimensional smooth Poincare conjecture。对于四维differential structure的研究还是一团迷雾，没有一个什么纲领带领大家去搞。三维Poincare conjecture能被证明实在是有Thurston天纵奇才地用一双肉眼遍观三维流形分类出了八种geometric structure，再经由几何分析来证明。

但四维的情况实在是太奇怪，人们已经构造除了无数个4-manifold，他们homeomorphically长得像R^4，但diffeomorphically又各个不同也是醉了。

作为一个立志搞四维流形的人，这问题真是越说越伤感，就这么着吧。

在预印本网站 http://arXiv.org，几何拓扑的类别是 math.GT，但那里没有低维拓扑或微分拓扑的类别。属于低维拓扑的论文常常应该放在几何拓扑下面；可能属于微分拓扑的论文，放在这个类别也不显得违和，但添加几个其它类别的交叉也许更好。由此不妨说，实际上在今天，低维拓扑可以看成几何拓扑的子领域，而微分拓扑没有独特清晰的界限。

想了解过去几何拓扑的研究范围，可以先浏览《Handbook of Geometric Topology》（R. J. Daverman, R. B. Sher 主编）的目录。这里摘引一段书序：

[The book]offers perspectives on matters closely studied in times past, such as PL topology, infinite-dimensional topology, and group actions on manifolds, and it presents several chapters on matters of intense interest at the time it was assembled, near the beginning of a new millenium, such as geometric group theory and 3-manifolds (knot theory included) and their invariants. It includes current treatments of vital topics such as cohomological dimension theory, fixed point theory, homology manifolds, invariants of high-dimensional manifolds, mapping class groups, structures on manifolds and topological dynamics.

因为那本是 2001 年出版的书，当时往后有些活跃方向就没有涵盖。下面是近十来年 MSRI 的一些几何拓扑相关的专题讨论会，风向相当有代表性。页面里有报告的题目列表，可以点开感受一下：

• 2003 Floer Homology for 3-Manifolds https://www.msri.org/workshops/265
  
• 2003 Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds https://www.msri.org/workshops/266
  
• 2008 Hot Topics: Contact Structures, Dynamics and the Seiberg-Witten Equations in Dimension 3, https://www.msri.org/workshops/461
• 2010 Research Workshop: Homology Theories of Knots and Links, https://www.msri.org/workshops/512
  
• 2013 Hot Topics: Surface Subgroups and Cube Complexes, https://www.msri.org/workshops/723
  
• 2015 Dynamics on Moduli Spaces, http://www.msri.org/workshops/743
  

在今天的几何拓扑里边，能跟四维的光滑 Poincaré 猜想相提并论的瞩目问题我也举不出多的来。不过，更专门的方向都会有各自认同的比较重要的问题，了解的最好办法是按话题去查阅综述文章。如果关注半年 arXiv.math.GT 的更新，就可以大概知道哪些话题比较活跃。要泛览有点儿岁数、有点儿趣味、有点儿小众的问题，可以翻一翻 Rob Kirby 的问题集

，只是不晓得他近来更新过没有。

谢谢邀请。

几何拓扑是研究流形的，微分拓扑是研究微分流形的，低维拓扑是研究低维流形的。